Livre : Analyse numérique avec MATLAB - Rappels de cours, méthodes, exercices avec corrigés détaillés PDF

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Introduction :

Cet ouvrage s’adresse aux étudiants en licence de mathématique appliquée ou en formation d’ingénieur. Son objectif est de donner au lecteur un outil lui permettant de travailler de manière autonome à l’aide de questions détaillées et progressives, et d’une construction pas à pas des programmes.

Ce choix de faire de la théorie avant de commencer la programmation est indispensable pour appréhender les notions d’analyse numérique mais aussi pour améliorer ses capacités de programmeur ; la programmation demande un peu d’âme... Cette préparation ne dispense pas d’une réflexion sur la manière de programmer une méthode. À cette fin, les exercices en Matlab proposent une programmation sous forme de poupées russes. À chaque question, le programme précédent est amélioré et complété. ,Les résultats intermédiaires sont donnés pour valider cette programmation par morceaux.

En fin de chapitre, les solutions complètes et les programmes sont systématiquement donnés. Naturellement, un livre de cours d’analyse numérique est utile en complément de cet ouvrage et la bibliographie en propose quelques-uns.

Le premier chapitre rappelle les commandes utiles de Matlab pour gérer des tableaux et les commandes élémentaires. Il s’agit donc de savoir utiliser au mieux les tableaux et de s’initier aux premières commandes du graphisme. Ces commandes nécessaires sont insuffisantes pour progresser dans la programmation et il ne faut pas hésiter à consulter fréquemment l’aide en ligne de Matlab.

Dans les deuxième et troisième chapitres est abordée la notion centrale de l’analyse numérique : Les matrices. En effet, beaucoup de méthodes numériques conduisent à la résolution d’un système linéaire. Les méthodes de résolution de système linéaire ne sont pas détaillées ici. Néanmoins les quelques exercices proposés peuvent servir de base. Plutôt que de multiplier ces exercices dans le chapitre, certains ont été placés dans d’autres chapitres; l’index permet de les retrouver. Ensuite, on a choisi de privilégier la notion de conditionnement car les résolutions de systèmes linéaires peuvent conduire à de grosses erreurs numériques. Les exercices proposés permettent de constater que le conditionnement est une notion originale qui n’a rien à voir avec les notions de déterminant ou de valeur propre.

Le quatrième chapitre est consacré à l’interpolation ou comment faire passer une courbe par des données mesurées. La première réponse est donnée par l’interpolant de Lagrange. Mais le phénomène de Runge montre qu’en plus de passer par les points, le cahier des charges peut aussi imposer une approximation convenable pour les autres points (lorsqu’on part d’une fonction échantillonnée par exemple). Ce chapitre propose donc une étude des splines cubiques qui répond mieux à cette question.

Dans le cinquième chapitre, une étude d’erreur est proposée. Il s’agit d’une notion essentielle en analyse numérique où, traditionnellement, la première étape est de montrer l’existence d’une solution unique à un problème sans forcément savoir la calculer, puis, la seconde de construire un problème approché dont la solution est cette fois-ci calculable ; pour finir on majore l’erreur entre les solutions exacte et approchée. Dans certains cas particuliers, les deux solutions peuvent être calculées. L’erreur est connue exactement ; on peut alors mesurer si la majoration est optimale. Matlab permet ainsi d’estimer l’ordre d’une méthode.

Dans le sixième chapitre, nous répondons à la question : comment approcher des données mesurées par une courbe ? La notion est différente de celle de l’interpolation et on se gardera donc de les confondre. Comme les mesures ne sont pas toujours linéaires, on verra qu’au delà de la régression linéaire, différentes bases peuvent être utilisées.